PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 5

5. Donats els punts P = (1, 0, –1) i Q = (–1, 2, 3), trobeu un punt R de la recta que compleixi que el triangle de vèrtexs P, Q i R és isòsceles, en què i són els costats iguals del triangle. [2 punts]

5.- Donats els punts P = (1, 0, −1) i Q = (−1, 2, 3), trobeu un punt R de la recta r : x + 3 = y + 4 = z −3 tal que el triangle de vèrtexs P, Q, R és isòsceles, essent PR i QR els costats 3 −1 iguals del triangle. [2 punts] Solució 1 El punt R de la recta és de la forma R = (−3 + 2λ, −4 + 3λ, 3 −λ) (equacions paramètriques de la recta). Volem que d(P, R) = d(Q, R). q (−3 + 2λ −1)2 + (−4 + 3λ −0)2 + (3 −λ + 1)2 = p 14λ2 −48λ + 48 ; d(P, R) = q (−3 + 2λ + 1)2 + (−4 + 3λ −2)2 + (3 −λ −3)2 = p 14λ2 −44λ + 40 . d(Q, R) = Cal que 14λ2 −48λ + 48 = 14λ2 −44λ + 40 . La solució d’aquesta equació és λ = 2 . El punt buscat és R = (1, 2, 1) . Solució 2 Busquem l’equació del pla que passa pel punt mig del segment PQ amb vector característic −−→ PQ; tots els punts d’aquest pla equidisten de P i Q. Després es busca la intersecció entre aquest pla i la recta r. Punt mig: M = P + Q = (0, 1, 1). Vector característic: −−→ PQ = Q −P = (−2, 2, 4). Equació del pla: −2(x −0) + 2(y −1) + 4(z −1) = 0 =⇒x + y + […]