PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Es vol construir un canal que tingui com a secció un trapezi isòs- celes de manera que l’amplària superior del canal sigui el doble de l’amplària inferior i que els costats no paraŀlels siguin de 8 metres. A la dreta teniu un esquema de la secció del canal. a) Trobeu el valor del segment L de la gràfica en funció de la vari- able x (amplària inferior del canal). b) Sabem que l’àrea d’un trapezi és igual a l’altura multiplicada per la semisuma de les bases. Comproveu que, en aquest cas, l’àrea de la secció és donada per c) Calculeu el valor de x perquè l’àrea de la secció del canal sigui màxima (no cal que comproveu que és realment un màxim). [0,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b; 1 punt per l’apartat c]

4.- Es vol construir un canal que tingui com a secció un trapezi isòsceles de manera que l’amplada superior del canal sigui el doble de l’amplada inferior i que els costats no paral·lels siguin de 8 metres. Sota hi teniu un esquema de la secció del canal. L h x (a) Trobeu el valor del segment assenyalat com a L en el dibuix, en funció de la variable x (amplada inferior del canal). (b) Sabem que l’àrea d’un trapezi és igual a la seva altura multiplicada per la semisuma de les seves bases. Comproveu que, en aquest cas, l’àrea de la secció ve donada per √ 256 −x2 A(x) = 3x . (c) Calculeu el valor de x perquè l’àrea de la secció del canal sigui màxima (no cal que comproveu que és realment un màxim). [0,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b; 1 punt per l’apartat c] Solució (a) Siguin b1 = x i b2 = 2x les dues bases del trapezi. Es compleix que L + b1 + L = b2 . Per tant, L = x/2 . (b) L’altura del trapezi, d’acord amb el teorema de Pitàgores, compleix que h2 + L2 = 82. D’aquí s […]