PAU Matemàtiques 2008 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 4

Donats el pla π: 3x – 2y + 5z = 6 i la recta 4. , busqueu el punt de tall, si existeix. [2 punts]

4.- Donats el pla π : 3 − 2 + 5 = 6 i la recta : = = − , busqueu x y z r 2 1 3 el punt de tall, si existeix. PUNTUACIÓ: 2 punts. Solució: De l’equació contínua de la recta se’n dedueix que = + λ = −+ λ = −− λ 1 2 , 1 , 2 3 . x y z Substituint aquests valors a l’equació del pla π ens queda que + λ − −+ λ + −− λ = ⇔− λ = ⇔ λ = − . 3(1 2 ) 2( 1 ) 5( 2 3 ) 6 11 11 1 El punt de tall és P = − ( 1, − 2, 1) . El problema també es pot resoldre trobant les equacions implícites de la recta i resolent el sistema de tres equacions amb tres incògnites resultant d’ajuntar-hi l’equació del pla. ⎧ ⎧ −= 1 2 + 2 − 2 = 3 − 1 + 1 + 2 ⎪ ⎪ x y x y x y z ⎪ ⎪ : = = ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ r 2 1 − 3 ⎪ ⎪ − − = + + = − 3 3 2 3 5 ⎪ y z ⎪ y z ⎩ ⎩ El sistema és ⎧ 3 − 2 + 5 = 6 ⎪⎪⎪⎪ x y z − 2 = 3 ⎨⎪⎪⎪ x y 3 + = − 5 ⎪⎩ y z que té per solució el punt P .