PAU Matemàtiques 2008 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Considereu la matriu , on a i b són nombres reals. a) Calculeu el valor de a i b per tal que . b) Segons els valors obtinguts en l’apartat anterior, calculeu A3 i A4. c) Si n és un nombre natural qualsevol, doneu l’expressió de An en funció de n. [1 punt per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b; 0,5 punts per lʼapartat c] Digueu per a quin valor de x la recta tangent a la corba y = ln(x2 + 1) és paral·lela a

2.- Considereu la matriu = , on a i b són nombres reals. ⎟ A ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ 0 − a b ⎛ 1 2 ⎞⎟ ⎜ a) Calculeu el valor de a i b per tal que = ⎠. ⎟ A ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 1 3 4 b) Per als valors obtinguts a l’apartat anterior, calculeu A i A . c) Sigui n un nombre natural qualsevol. Doneu l’expressió de A en funció n de n . PUNTUACIÓ: 1 punt per l’apartat a); 0.5 punts per l’apartat b); 0.5 punts per l’apartat c). Solució: a) Calculem A i igualem a la matriu que ens indiquen. ⎛ ⎞ ⎛ + 1 ⎞⎛ + 1 ⎞ 2 ⎛ 1 2 ⎞ ( + ) 2 a b a b a b a ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2 = ⋅ = ⋅ = ⎟ = . ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ A A A ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ 0 − 0 − ⎝ ⎠ 0 1 0 ( − ) a b a b a b 2 2 D’aquí, cal que ( + ) = 1 , ( − ) = 1 i 2 a = 2 . La solució de la tercera a b a b equació és a = . De la primera i tercera equació deduïm que 1 b = 0 . ⎛ ⎞⎟ 1 1 ⎜ = b) La matriu obtinguda a l’apartat anterior és ⎠. Llavors, ⎟ A ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 3 2 4 3 = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠; ⎟ ⎟ ⎟ ⎠. ⎟ A […]