PAU Matemàtiques 2008 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 5

PROBLEMES 5. Considereu el sistema d’equacions següent: a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat. c) En el cas de l’apartat anterior, trobeu una solució del sistema en què x, y i z tin- guin valors enters. [2,5 punts per lʼapartat a; 1 punt per lʼapartat b; 0,5 punts per lʼapartat c]

PROBLEMES 5.- Considereu el sistema d’equacions ⎧ + − − = 2 ( 1) 4 ⎪⎪⎪⎪ x y a z − 2 + = − 4 ⎨⎪⎪ x y z ⎪⎪⎩ − + + = − 4 ( 1) 2 x a y z a a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a . b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat. c) En el cas (b), trobeu una solució del sistema en què x , y i z tinguin valors enters. PUNTUACIÓ: 2 punts per l’apartat a); 0.5 punts per l’apartat b); 1 punt per l’apartat c); 0.5 punts per l’apartat d). Solució: a) Escalonant la matriu ampliada del sistema ens queda ⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞ 1 2 1 4 1 2 1 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ( ) ∼ 2 1 1 − 4 ⎟ ∼ 0 5 −− 1 12 ⎟ A b ⎜ a ⎜ a ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − −+ − − ⎝ 4 1 1 2 ⎠ ⎝ 0 7 3 16 2 ⎠ a a a a ⎛ − − ⎞ 1 2 1 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 5 −− 1 12 ⎟ ∼ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 − + − − ⎝ 0 0 6 8 2 4 ⎠ a a a Nota: ens podem estalviar l’últim pas mirant si la segona i la tercera files de la matriu del sistema (no de l’ampliada) són proporcionals: 5 −− 1 a 2 2 = ⇔− 15 = − 6 − 7 ⇔ − 6 + 8 = 0 a a a a −+ 7 − 3 a Sigui d’una o altra manera, […]