PAU Matemàtiques 2008 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 6

6. De tots els triangles rectangles d’hipotenusa 10 cm, trobeu la longitud dels catets del triangle que té el perímetre màxim. Comproveu que la solució trobada correspon- gui realment al perímetre màxim. [2,5 punts pel càlcul dels catets; 1,5 punts per la comprovació]

6.- De tots els triangles rectangles d’hipotenusa 10 cm, trobeu la longitud dels catets d’aquell que té perímetre màxim. Feu la comprovació de què la solució trobada correspon realment al perímetre màxim. PUNTUACIÓ: 2.5 punts pel càlcul dels catets; 1.5 punts per la comprovació. Solució: Siguin x i y els catets del triangle. Llavors sabem, d’acord amb el teorema de 2 2 2 Pitàgores, que + = 10 , la qual cosa ens permet aïllar, per exemple, el valor de x y la variable y en funció de la x : = 100 − . y x El perímetre del triangle és = 10 + + = 10 + + 100 − . P x y x x Per trobar el màxim d’aquest valor, calculem la derivada del perímetre respecte de x . x '( ) = 1 − . Igualem aquesta expressió a zero i esbrinem el valor de la P x 100 − x variable x , x 2 2 '( ) = 0 ⇔ 1 − = 0 ⇔ = 100 − ⇔ 2 = 100 ⇔ = ± 5 2 . P x x x x x 100 − x El valor negatiu no té cap sentit en aquest problema (encara més: es pot observar que ′ el valor negatiu NO ÉS solució de l’equació ( ) = 0 ). Així, ens quedarem amb […]