PAU Matemàtiques 2008 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 1

QÜESTIONS 1. Trobeu els valors dels paràmetres a i b per tal que la funció següent sigui contínua i derivable en x = 2. [2 punts]

QÜESTIONS 1.- Trobeu els valors dels paràmetres a i b per tal que la funció següent sigui = 2 contínua i derivable en . x ⎧ 2 + + < 2 3 si 2 ⎪ ax x x = ⎨ ( ) f x + + ≥ ⎪⎩ 3 5 si 2 x bx x PUNTUACIÓ: 2 punts. Solució: = 2 Per a què la funció sigui contínua en el punt , cal que els límits laterals existeixin, x coincideixin i siguin iguals al valor de la funció en el punt. lim ( ) = lim ( + 2 + 3) = 4 + 7; f x ax x a − − → 2 → 2 x x lim ( ) = lim ( + + 5) = 13 + 2 . f x x bx b + − → 2 → 2 x x (2) = 13 + 2 f b = 2 Així, ens queda que la funció és contínua en si i sol si 4 + 7 = 13 + 2 . x a b Per estudiar la derivabilitat, busquem les derivades laterals en el punt 2, ′ ′ ′ 2 ′ ( ) = 2 + 2 ⇒ (2) = 4 + 2 ; ( ) = 3 + ⇒ (2) = 12 + . f x ax f a f x x b f b − − + + = 2 La funció és derivable en el punt , si i sol si 4 + 2 = 12 + . Arribem així al x a b sistema ⎧ − = 4 2 6 a b ⎨ − = 4 10 ⎩ a b 7 , = = que té per solució 4 . a b ⎛ + ⎞ a b ⎟ ⎜