PAU Matemàtiques 2004 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Tenim quatre punts a l’espai: A(0, 0, 0); B(0, 0, 2); C(0, 2, 0) i D(2, 0, 0). Es demana: a) representeu gràficament els quatre punts; b) calculeu el volum del tetràedre (piràmide de base triangular) ABCD; c) trobeu l’equació del pla que passa per B, C i D; d) calculeu la distància de l’origen al pla de l’apartat anterior. [Puntuació: apartat a) 0,5 punts; apartat b) 1,5 punts; apartat c) 1 punt; apartat d) 1 punt. Total 4 punts] SÈRIE 1 PAU. Curs 2003-2004 MATEMÀTIQUES A continuació trobareu l’enunciat de quatre qüestions i dos problemes. Heu de respondre només tres de les quatre qüestions i resoldre només un dels dos problemes (podeu triar les qüestions i el problema que vulgueu). En les respostes que doneu heu d’explicar sempre què és el que voleu fer i per què. Puntuació de cada qüestió: 2 punts. Total qüestions: 3 x 2 = 6 punts. Problema: 4 punts.

6. Tenim quatre punts a l’espai: ( ) ( ) ( ) ( ) A 0 0 0 , , ; B 0 0 2 , , ; C 0 2 0 , , D 0,0,2 i . Es demana: a) representeu gràficament els quatre punts; b) calculeu el volum del tetràedre (piràmide de base triangular) ABCD ; c) trobeu l’equació del pla que passa per B C , i D; d) calculeu la distància de l’origen al pla de l’apartat anterior. SOLUCIÓ. a) [0,5 punts] b) [1,5 punts] A partir del gràfic, el volum del tetràedre es pot calcular directament com el volum de la piràmide de base el triangle rectangle ABC i altura 2:   1 1 4 = ⋅ ⋅ = V  2 2 2 . 3  2  3 Per calcular el volum del tetràedre, també es pot fer servir la fórmula que l’expressa com 1/6 del producte mixt dels vectors r r r A B , A C , A D (en valor absolut): 0 0 2 − 1 8 ⋅ = 0 2 0 , en 6 6 2 0 0 . valor absolut, c) [1 punt] L’equació general del pla que ens demanen és (prenem ( ) 0 0 2 , , com punt base i ( ) ( ) − − 0 2 , , 2 ; 2 0 2 , , com vectors directors): x 0 2 ( ) = −⋅ + + − = y 2 0 0 4 x y z 2 0 ; és a […]