PAU Matemàtiques 2004 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Considerem els punts de l’espai A(1, 1, 0), B(0, 1, 2) i C(–1, 2, 1). Ens diuen que aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d’un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites. Es demana: a) aquests punts, estan alineats? b) podem saber el rang de la matriu del sistema d’equacions? Raoneu adequadament les respostes. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt. Total 2 punts]

4. Considerem els punts de l’espai ( ) ( ) i ( ) C −1 2 1 A 1 1 0 , , , B 0 1 2 , , , , . Ens diuen que aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d’un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites. Es demana: a) aquests punts, estan alineats? b) podem saber el rang de la matriu del sistema d’equacions? Raoneu adequadament les respostes. SOLUCIÓ. r ( ) = −1 0 2 a) [1 punt] Els tres punts no estan alineats perquè els vectors AB , , i r ( ) = −2 11 AC , , són linealment independents (no són proporcionals). b) [1 punt] Com que els tres punts no estan alineats, la solució del sistema d’equa- cions lineals no pot representar una recta. Ha de ser doncs un pla o tot l’espai (aquest últim cas, encara que tèoricament correcte, requeriria que la matriu dels sistema fos de rang 0, o sigui una matriu idènticament 0). Si la solució és un pla, el nombre de graus de llibertat del sistema és 2 i el rang de la matriu del sistema, 1: les tres equacions representen el mateix pla.