PAU Matemàtiques 2003 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 2 (Problemes)

2. Un segment d’extrems A = (5, 3, 1) i B = (4, 2, –1) es divideix en tres parts iguals mitjançant dos plans perpendiculars a aquest segment. Calculeu les equacions dels dos plans i la distància entre ells. [4 punts]

2. Un segment d’extrems A = (5, 3, 1) i B = (4, 2, −1) es divideix en tres parts iguals mitjan¸cant dos plans perpendiculars a aquest segment. Calculeu les equacions dels dos plans i la distància entre ells. Es pot prendre com a vector normal⃗n a aquests plans el vector⃗BA = (1, 1, 2) de forma que les equacions d’aquests plans han de ser de la forma x + y + 2z = k, on k és una constant diferent per a cada un d’ells. Els punts P i Q que divideix el segment AB en tres parts iguals són P = B + 1 µ13 3 , 7 3, −1 ¶ Q = B + 2 µ14 3 , 8 3, 1 ¶ 3⃗BA = , 3⃗BA = 3 3 Aleshores el pla que passa per P serà x + y + 2z = 6(= 13/3 + 7/3 −2 × (1/3)) i el que passa per Q serà x + y + 2z = 8(= 14/3 + 8/3 + 2 × (4/3)). La distància entre aquests dos plans es pot determinar com un ter¸c de la longitud √ del vector⃗AB i, per tant, val 3 . (Teniu en compte que hi ha altres maneres d’obtenir aquests mateixos resultats.) Compteu fins a dos punts (2) pel plantejament, fins a un punt mig més (1.5) per la determina […]