PAU Matemàtiques 2004 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Els punts A(k –3, 2, 4), B(0, k + 2, 2) i C(–2, 6, k + 1) són tres dels vèrtexs d’un rombe ABCD (vegeu la figura). a) Calculeu el valor de k. b) Demostreu que el rombe és un quadrat. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt. Total: 2 punts]

4. Els punts ( ) ( ) ( )1 − + − + A k ,3 ,2 4 , B ,0 k ,2 2 C ,2 ,6 k i són tres dels vèrtexs d’un rombe ABCD (vegeu la figura). C Es demana: a) calculeu el valor de k ; D B b) demostreu que el rombe és un quadrat. A SOLUCIÓ. a) [1 punt] Si el paral·lelogram ABCD és un rombe, d(A,B)=d(B,C): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 − + 2 + = + − + − ⇒ = k 3 k 4 4 4 k k 1 k 2 . r ( ) = − b) [1 punt] El rombe és un quadrat atès que els vectors AB 1 2 , , 2 i r ( ) = −2 2 1 BC , , (o un altre parell adequat, AB, AD, etc. ) són perpendiculars: r r ⋅ = ⋅− + ⋅ + − ⋅= AB BC 1 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) 1 0 . També es pot fer per Pitàgores aplicat a un dels triangles ABC, ABD, etc.