PAU Matemàtiques 2000 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2 (Problemes)

2. Donats el pla π d'equació x + 2y + 3z – 1 = 0, la recta r d'equacions x 2z – 3 =    i el punt P = (2, 1, 1), calculeu: y z 4 = + a) Unes equacions de la recta que passa per P i és perpendicular a π. b) L'equació del pla que passa per P i és perpendicular a la recta r. c) Unes equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment r. d) Unes equacions de la recta que passa per P, és paral·lela al pla π i tal que el seu vector director és perpendicular al de r. [4 punts] SÈRIE 3 PAAU. LOGSE MATEMÀTIQUES Curs 1999-2000 A continuació trobareu l'enunciat de quatre qüestions i dos problemes. Heu de respondre només tres de les quatre qüestions i resoldre només un dels dos problemes (podeu triar les qüestions i el problema que vulgueu).

2. (a)⃗n = (1, 2, 3) és vector perpendicular al pla π i serà director de la recta per- pendicular a π que, en passar per P = (2, 1, 1), té les equacions x −2 = y −1 = z −1 . 1 2 3 (b) Un vector director de r (d’equacions paramètriques x = 2z −3, y = z + 4, z = z) és⃗v = (2, 1, 1), i serà perpendicular al pla, que tindrà una equació general del tipus 2x + y + z = d. En passar per P = (2, 1, 1), necessàriament d = 6 i l’equació d’aquest pla és 2x + y + z = 6. (c) Determinem un punt Q de r (per tant, Q = (2z −3, z +4, z)) tal que el vector PQ = (2z −5, z +3, z −1) sigui ortogonal al vector director de r,⃗v = (2, 1, 1). La condició d’ortogonalitat entre PQ i⃗v és 4z −10 + z + 3 + z −1 = 0, que dóna z = 4/3 i PQ = (−7/3, 13/3, 1/3). La recta buscada passa per P = (2, 1, 1) i té el vector director PQ. Unes equacions per a ella són x −2 = y −1 = z −1 . −7 13 1 (d) Un vector director⃗w = (a, b, c) ha de ser ortogonal a (1, 2, 3) i a (2, 1, 1). Es pot trobar com a una de les solucions no nul.le […]