PAU Matemàtiques 2000 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1 (Problemes)

PROBLEMES 1. Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren AB = 60 m i AC = 45 m. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura següent: Voleu vendre aquest terreny i us paguen 5.000 pessetes per cada metre quadrat no edificable i 25.000 pessetes per cada metre quadrat edificable. a) Determineu la relació que hi ha entre l'amplada x i la profunditat y del rectangle que determina la part edificable. b) Determineu l'expressió que dóna el valor del terreny en funció de l'amplada x del rectangle edificable. c) Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor màxim per a aquest terreny? d) Quin és aquest valor màxim? [4 punts]

Problemes 1. (a) Considerant triangles semblants s’obté, per exemple, 60 = 45 −y x 60 −x = 45 −y y (o ), 45 x que equivalen a y = 45 −(3/4)x. (b) El valor de l’àrea edificable xy és V1(x) = 25.000x(45−(3/4)x) = 25.000(45x− (3/4)x2). El valor de l’àrea no edificable 60 × 45/2 −xy = 1.350 −xy és V2(x) = 5.000(1.350 −45x + (3/4)x2). El valor total és la suma: V (x) = V1(x) + V2(x) = 61750.000 + 900.000 x −15.000 x2. (c) V ′(x) = 900.000 −30.000 x. V ′(x) = 0 si i només si x = 30, punt on V té un màxim, doncs és creixent (V ′ > 0) si x < 30 i decreixent si x > 30. Les dimensions per a aquest valor màxim són x = 30 m i y = 45−22, 5 = 22, 5 m. (d) El valor màxim és, en pessetes, V (30) = 201250.000. Compteu un punt pels dos primers apartats, un punt i mig pel tercer (quan es fa el càlcul de la derivada i es determina el punt crític) i mig per l’últim (en el que només s’ha de calcular el valor de la funció en el punt crític que s’ha trobat).