PAU Matemàtiques 2017 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 6

6. El croquis de sota representa la paret d’unes golfes amb el sostre inclinat, en la qual es vol construir un armari rectangular com el de la zona ombrejada. a) Expresseu l’àrea del rectangle en funció de la longitud x del segment AB. [1 punt] b) Determineu les dimensions del rectangle si volem que tingui una superfície màxima i calculeu aquesta superfície màxima. [1 punt]

a) La base del rectangle és 6-x. Per a calcular l’alçada del rectangle calculem primer l’equació de la recta que fa de sostre inclinat. Si pensem l’origen (0,0) en el punt A, la recta és la que passa pels punts (0, 1) i (6, 3). Té per tant pendent (3-1)/(6-0) = 2/6 = 1/3 i serà de la forma y = (1/3) x + n i si ha de passar pel punt (0, 1), n ha de valer 1. Així doncs l’alçada és (1/3) x +1 ଵ ଵ ଷݔଶ൅ݔ൅6 . Per tant l’àrea del rectangle és ܣሺݔሻൌሺ6 െݔሻ൉ቀ ଷݔ൅1ቁൌെ Nota: Els càlculs per a l’equació del sostre per a determinar l’alçada de l’armari també es poden resoldre per semblança de triangles. Es puntuarà de forma anàloga. b) Per a maximitzar la funció ܣሺݔሻ mirem en quin punt s’anul·la la derivada. ܣᇱሺݔሻൌെ2 3 ݔ൅1 ܣᇱሺݔሻൌ0 ⇒2 3 ݔൌ1 ⇒ݔൌ3 I com que A’’(x) = -2/3 < 0 en x = 3/2 hi ha un màxim relatiu ଷ ଽ ଵ ଷ ଷ Per tant les dimensions del rectangle seran 6 െ ଶൌ ଶ de base i ଶ൅1 ൌ ଶ d’alçada. ଷ ଷ ଽ ଷ ଶ଻ ସ ݑଶ. L’àrea màxima serà ܣቀ ଶቁൌ ଶ൉ ଶൌ a) 0,25 punts per la base del rectangle. 0,25 punts per l […]