PAU Matemàtiques 2017 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Considereu el sistema d’equacions lineals següent: en què k és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors de k. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas k = –2. [1 punt]

Fem Gauss prenent les variables en l’ordre donat ݔ, ݕ, ݖ, i obtenim les matrius 1 െ1 1 0 ܯ|ܯܣൌ൭ 2 0݇ อ 1݇ ൱ ଶെ4 1݇ ൅1 1 Substituïm la segona fila (F2) per F2-2·F1 i la tercera fila F3 per F3-F1, on F1 denota la primera fila. Tenim 1 െ1 1 0 ൭ 0 2݇ െ2 อ 1݇ ൱ ଶെ4 0݇ ൅2 0 Ara és n’hi ha prou d’intercanviar les columnes 2 o 3 per tenir la matriu diagonalitzada: 1 1 െ1 0 ൭ อ ൱ 0݇ െ2 2 1݇ ଶെ4 0 0݇ ൅2 i podem passar a la discussió:  2 i െ2 tenim ݎܽ݊݃ ܯൌݎܽ݊݃ ܯܣൌ݊ ú݉ .݅݊ܿ ݋݃. ൌ3 i per tant és un Per sistema compatible determinat.  ൌ2 tenim ݎܽ݊݃ ܯൌ2 i ݎܽ݊݃ ܯܣൌ݊ ú݉ .݅݊ܿ ݋݃. ൌ3 i per tant es tracta Per d’un sistema incompatible.  ൌെ2 tenim ݎܽ݊݃ ܯൌݎܽ݊݃ ܯܣൌ2 i per tant és un sistema compatible Per indeterminat amb 3-2 = 1 grau de llibertat. Nota: Anàlogament, es pot discutir el rang M a partir del determinant de la matriu. |ܯ| ൌ4 െ݇ ଶ o del menor una vegada aplicat el primer pas de Gauss, amb la igualtat 2݇ െ2݇ ቚ ቚൌ0, que condueix igualment als valors ൌ2 i ൌെ2, per a organitzar ൅2 0 la discussió. […]