PAU Matemàtiques 2017 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Responeu a les qüestions següents: a) Comproveu que la recta tangent a la corba y = x2 en el punt d’abscissa x = 2 és la recta y = 4x – 4 i calculeu els punts d’intersecció d’aquesta recta amb els eixos de coordenades. [1 punt] b) Calculeu l’àrea limitada per la corba de l’apartat anterior, la recta tangent en x = 2 i l’eix de les abscisses. [1 punt]

3. a) P(2,4) Trobem el punt de tangència: P(2,4). El pendent de la tangent és la derivada, per tant:  2 f ( x ) x   f (' x ) 2 x f (' 2 ) 4 i     4  y 4 4 ( x 2 ) y x 4 La recta tangent és doncs: , o sigui . Els punts d’intersecció amb els eixos de coordenades els trobem quan x = 0 que obtenim y = -4 i quan y = 0 que obtenim x = 1. Així doncs els punts intersecció són ሺ0, െ4ሻi ሺ1, 0ሻ. b) L’àrea de la regió es pot obtenir: ଵ ଶ ௫య ௫య ׬ ݔଶ݀ݔ൅׬ ൫ݔଶെሺ4ݔെ4ሻ൯݀ݔ ଵ ଶ ଷെ2ݔଶ൅4ݔቁቃ ൌ ଷቃ ൅ቀ ൌ ଴ ଵ ଴ ଵ ൌ1 3 ൅8 3 െ8 ൅8 െ1 3 ൅2 െ4 ൌ2 3 ݑଶ. a) 0,25 punts pel punt de tangència. 0,25 punts per la derivada en el punt. 0,25 punts per la recta tangent. 0,25 punts pels punts intersecció. b) 0,25 punts pel plantejament de les dues integrals. 0,25 punts per les dues primitives. 0,25 punts per l’aplicació de la regla de Barrow. 0,25 punts pel càlcul final.