PAU Matemàtiques 2017 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Considereu un con de 120 cm3 de volum que té una altura h, un radi de la base x i una aresta a, com el de la figura següent: a) Comproveu que [1 punt] b) Calculeu l’altura del con que té l’aresta de longitud mínima. [1 punt] Nota:  Recordeu que el volum del con és un terç del volum del cilindre recte que té la mateixa base i la mateixa altura que el con.

ଶൌݔଶ൅݄ ଶ. Com que el volum del con val Pel teorema de Pitàgores sabem que 120 cm3, per la fórmula del volum tenim 120 ൌߨ൉ݔଶ൉݄ ଷ଺଴ ଵ i aïllant, obtenim ݔଶൌ ௛. Substituint ݔଶ a l’expressió inicial, s’obté la fórmula గ൉ buscada. b) La longitud de l’aresta és una funció positiva i tenim la longitud al quadrat expressada com a funció de ݄, per tant és suficient amb trobar els mínims de la funció ሺ݄ሻൌ360 ߨ൉1݄൅݄ ଶ quan ∈ሺ0, ∞ሻ. Tenim ᇱሺ݄ሻൌ2݄െ360 ߨ൉1݄ ଶ ଷ଺଴ ଵ ଵ଼଴ య ଵ଼଴ per tant, en igualar ܨᇱሺ݄ሻൌ0, s’obté 2 ଷൌ ൌ గ൉ ௛మ, ൌට ≃3,86 cm . గ i గ ଵ଼଴ య ᇱሺݔሻ൏0 quan ݔ∈ቆ0, ට ᇱሺݔሻ൐0 quan ቇ i Es comprova que és un mínim, ja que గ య ଵ଼଴ ݔ∈ቆ ට , ∞ቇ. గ Alternativament, es pot treballar amb la funció ሺ݄ሻൌඨ360 ߨ൉1݄൅݄ ଶ i s’obté com a derivada െ180 ߨ൉1݄ ଶ ᇱሺ݄ሻൌ݄ ට360 ߨ൉1݄൅݄ ଶ El desenvolupament del problema és el mateix a partir d’aquí. a) 0,25 punts per l’aplicació del teorema de Pitàgores. 0,25 punts per la igualtat derivada del volum. 0,25 punts per aïllar la x. 0,25 punts per la substitució final. b) 0,25 pu […]