PAU Matemàtiques 2017 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Sigui la matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineals. a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre a, i interpreteu el resultat geomètri­ cament. [1 punt] b) Per a a = 1 trobeu la forma paramètrica del pla solució i doneu un punt i dos vectors directors d’aquest pla. [1 punt]

1 1 െ1ሻଶ൉ሺܽ Fem el determinant de la matriu dels coeficients: อܽ อൌሺܽ ൅2ሻ 1ܽ 1 1 1ܽ  Si 1 i െ2 per Rouché-Frobenius, rang(ܣሻൌ rang(A/b) = nombre d’incògnites = 3 Sistema compatible determinat, una sola solució, un punt. Els tres plans són secants i es tallen en un punt. 1 1 1 1 ൌ1 ሺܣ|ܾሻൌ൭ ൱ rang(A) = rang(A/b) = 1 < 3 = nombre  Si 1 1 1 1 1 1 1 1 d’incògnites, llavors és un sistema compatible indeterminat amb dues variables lliures. Els tres plans coincideixen.  Si ൌെ2 െ2 1 1 1 1 1 െ2 4 1 1 െ2 4 →ሺܣ|ܾሻൌ൭ ൱~ ൭ ൱~ ൭ ൱ 1 െ2 1 െ2 1 െ2 1 െ2 0 െ3 3 െ6 1 1 െ2 4 െ2 1 1 1 0 3 െ3 9 1 1 െ2 4 ~ ൭ 0 െ1 1 െ2 ൱ 0 0 0 1 Llavors és un sistema incompatible. Es tracta per tant de tres plans que no tenen cap punt comú a tots tres. Com que tots els menors d’A d’ordre 2 són diferents de 0, cada dos plans es tallen en una recta que queda paral·lela (no continguda) al tercer pla. 1 1 1 1 b) ൌ1 → ሺܣ|ܾሻൌ൭ ൱, El sistema és compatible indeterminat quan 1 1 1 1 1 1 1 1 ݔൌ1 െݐെݏ ens queda el pla: ݔ൅ݕ൅ݖൌ1, que en […]