PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 3

3. Sigui la funció f(x) = x ex–1. a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = 1. [1 punt] b) Determineu en quins intervals la funció f és creixent i en quins intervals és decreixent. [1 punt]

3. Sigui la funció ( ) . a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = 1. [1 punt] b) Determineu en quins intervals la funció f és creixent i en quins intervals és decreixent. [1 punt] Resolució: a) En un punt x = a, l’equació de la recta tangent a una funció f té l’expressió ( )( ) ( ) En el nostre cas tenim ( ) i a = 1 La funció derivada f’(x) és ( ) ( ) . Tenim doncs: a = 1, ( ) ( ) , i ( ) ( ) . Per tant la recta tangent és ( ) . b) Com que la funció f és derivable en tot el seu domini, la funció creixerà allà on la derivada sigui positiva i decreixerà allà on la derivada sigui negativa. Tenim que ( ) ( ) . Mirem si la funció s’anul·la en algun punt. ( ) porta a que 1+x = 0 i per tant x = -1. Si ( ) i per tant la funció és decreixent. Si ( ) i per tant la funció és creixent. La funció és decreixent en l’interval ( ) i és creixent en l’interval ( ). Apartat a) 0,25 punts per la fórmula de la recta tangent. 0,25 punts pels càlculs de […]