PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 1

1. Considereu el sistema d’equacions lineals següent: a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real k. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas k = 0. [1 punt]

1. Considereu el sistema d’equacions lineals següent: } a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real k. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas . [1 punt] Resolució: a) La matriu de coeficients i l’ampliada, A i A’, són les següents: || ⏟ ⏟ ( ) Estudiem primer per a quins valors del paràmetre k el rang(A) és màxim. Per a això calcularem det(A) i estudiarem quan s’anul·la. | | | | Per tant, el determinant d’A s’anul·la només en el cas k = 0. Per tant, tenim els següents dos casos. Cas I: En aquest cas, tenim rang(A) = 3, per tant rang(A’) =3 = nombre d’incògnites. Per tant, el sistema és Compatible Determinat. Cas II: k = 0 En aquest cas la matriu del sistema és || ⏟ ⏟ ( ) Com que det(A) = 0, rang(A) < 3, però el menor | | ens diu que rang(A) = 2. Per a saber el rang de la matriu ampliada orlem el menor anterior i calculem el determinant. | ( ) ( ) i per tant el sistema és Com que | Compatible Indeterminat amb 1 (3-2) grau de llibertat. En resum:  Si : Sistema C […]