PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Considereu el tetraedre que té per vèrtexs els punts A = (x, 0, 1), B = (0, x, 1), C = (3, 0, 0) i D = (0, x, 0), amb 0 < x < 3. a) Comproveu que el volum del tetraedre és donat per l’expressió . [1 punt] b) Determineu el valor de x que fa que el volum sigui màxim i calculeu aquest volum màxim. [1 punt] Nota:  Podeu calcular el volum del tetraedre de vèrtexs A, B, C i D amb l’expressió .

5. Considereu el tetraedre que té per vèrtexs el punts A = (x,0,1), B = (0,x,1), C = (3,0,0) i D = (0,x,0) amb 0 < x < 3. a) Comproveu que el volum del tetraedre és donat per l’expressió ( ). ( ) [1 punt] b) Determineu el valor de x que fa que el volum sigui màxim i calculeu aquest volum màxim. [1 punt] Resolució: a) El volum del tetraedre de vèrtexs ABCD es pot calcular amb l’expressió | ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )| Calculem els tres vectors arestes: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) i ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Per tant ( ) | ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )| || | ( )| || | ( )| Ara bé observem que 0 < x < 3 i per tant l’expressió ( ) serà sempre positiva i aleshores el seu valor absolut serà ( ). ( ), com volíem demostrar. Tenim doncs ( ) ( ( )) Observació: El volum es pot calcular també a partir de l’àrea del triangle de la base i de l’alçada del tetraedre. La puntuació en aquest cas, que és una mica més llarg, es repartirà per igual entre els diferents passos. b) Per a obtenir el volum màxim buscarem un punt que anul·li la der […]