PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu els màxims relatius, els mínims relatius i els punts d’inflexió de la funció f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4. [1 punt] b) Expliqueu raonadament que si f(x) és una funció amb la derivada primera contínua en l’interval [a, b] i satisfà que f′(a) > 0 i f′(b) < 0, aleshores hi ha, com a mínim, un punt de l’interval (a, b) en què la recta tangent a la gràfica de f(x) en aquest punt és horit­ zontal. [1 punt]

3. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu els màxims relatius, mínims relatius i punts d’inflexió de la funció ( ) . [1 punt] b) Expliqueu raonadament que si ( ) és una funció amb derivada primera contínua en l’interval [ ] i que satisfà que ( ) i ( ) aleshores hi ha, com a mínim, un punt de l’interval ( ) en què la recta tangent a la gràfica de ( ) en aquest punt és horitzontal. [1 punt] Resolució: ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) i, per tant, la funció és còncava. Si ( ) i, per tant, la funció és convexa. Si Per tant, punt d’inflexió en el punt ( ( )) ( ) Si la funció f admet derivada primera contínua i ( ) i ( ) , podem b) aplicar el teorema de Bolzano a la funció en l’interval [ ] ja que es tracta d’una funció contínua en un interval que experimenta un canvi de signe entre els extrems. Aleshores el teorema de Bolzano ens assegura que hi ha, com a mínim, un punt en l’interval ( ) en què la funció (aquí és la ) s’anul·la. I que s’anul·li vol dir exacta […]