PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 2

2. A ℝ3, siguin la recta r que té per equació (x, y, z) = (1 + λ, λ, 1 – λ) i el pla π d’equació 2x – y + z = –2. a) Determineu la posició relativa de la recta r i el pla π. [1 punt] b) Calculeu la distància entre la recta r i el pla π. [1 punt] Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió .

2. A R3, siguin la recta r que per equació ( ) ( ) i el pla d’equació . a) Determineu la posició relativa de la recta r i el pla . [1 punt] b) Calculeu la distància entre la recta r i el pla . [1 punt] Resolució: a) Els punts de la recta r són de la forma ( ) per tant r és la recta que passa pel punt P = (1,0,1) i que té vector director ( ). Per altra banda, el vector normal del pla està format pels coeficients A, B i C de l’equació cartesiana i és ( ). Si fem el producte escalar ( ) ( ) , per tant són dos vectors ortogonals (perpendiculars) entre sí amb la qual cosa tenim que la recta r és paral·lela al pla . Com que el punt P no satisfà l’equació del pla , la recta queda paral·lela exterior (no continguda) al pla. Observació: El paral·lelisme també pot ser demostrat via la resolució del sistema d’equacions lineals format per la recta i el pla i veient que és un Sistema Incompatible. b) Per a fer la distància de r a , com que són paral·lels, és suficient agafar un P de r i fer d(P, ) […]