PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu totes les matrius de la forma que satisfan la igualtat A2 + A = 2I, en què I és la matriu identitat, . [1 punt] b) Justifiqueu que si A és una matriu quadrada que compleix la igualtat A2 + A = 2I, ales­ hores A és invertible, i calculeu l’expressió de A–1 en funció de les matrius A i I. [1 punt]

4. Responeu a les qüestions següents. a) Calculeu totes les matrius de la forma ( ) que satisfan la igualtat , en què I és la matriu identitat ( ). [1 punt] b) Justifiqueu que si A és una matriu quadrada que compleix la igualtat , aleshores A és invertible, i calculeu l’expressió de en funció de les matrius A i I. [1 punt] Resolució: a) La igualtat matricial que es planteja és ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) que observem que és una igualtat que es compleix per a qualsevol valor de m. Per tant, totes les matrius de la forma ( ) satisfan la igualtat. b) La igualtat de l’enunciat, traient factor comú, es pot reescriure així: ( ) ( ) és a dir ( ) ( ) Amb això ja tenim que la matriu A és invertible ja que hem trobat una matriu, en el nostre cas , que multiplicada per la dreta i per l’esquerra per A dóna la matriu identitat. Per tant, . Apartat a) 0,25 punts per les primeres operacions matricials. 0,25 punts per les segones operacions matricials. 0,5 per identificar la igualtat terme a t […]