PAU Matemàtiques 2015 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Siguin x i y les mesures dels costats d’un rectangle inscrit en una circumferència de dià­ metre 2. a) Comproveu que la superfície del rectangle, en funció de x, és donada per l’expressió [1 punt] b) Calculeu els valors de les mesures x i y per als quals la superfície del rectangle és màxi­ ma i calculeu el valor d’aquesta superfície màxima. [1 punt]

5. Siguin x i y les mesures dels costats d’un rectangle inscrit en una circumferència de diàmetre 2. a) Comproveu que la superfície del rectangle, en funció de x, és donada per l’expressió ܵሺݔሻൌ√4ݔଶെݔସ. b) Calculeu els valors de les mesures x i y per als quals la superfície del rectangle és màxima i calculeu el valor d’aquesta superfície màxima. Resolució: a) Si dibuixem la diagonal del rectangle (que és el diàmetre de la circumferència), pel Teorema de Pitàgoras tenim la relació ݔଶ൅ݕଶൌ2ଶ. Per tant, ݕൌ൅√4 െݔଶ. Aleshores la superfície x·y, en funció només de la variable x la podem escriure ሺݔሻൌݔ൉ඥ4 െݔଶൌඥ4ݔଶെݔସ com volíem comprovar. b) Pel caràcter monòton de la funció arrel quadrada, el valor de x on la superfície sigui màxima és el mateix que aquell per al qual es maximitza el radicant. Per tant, maximitzarem el radicant, ݎሺݔሻൌ4ݔଶെݔସ, que és més senzill. Els candidats a màxim seran els punts que anul·lin la derivada primera. Fem les derivades i igualem a zero la derivada primera. ݎሺݔሻൌ […]