PAU Matemàtiques 2015 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 6

x/2 6. La portalada d’una catedral està formada, en la part superior, per un arc de mitja circumferència que recolza sobre dues columnes, com iŀlustra la figura adjunta, en què x és el diàmetre de la cir­ x cumferència, és a dir, la distància entre columnes, i y és l’alçària de cada columna. y a) Comproveu que la funció determina l’àrea d’aquesta portalada. [1 punt] b) Si el perímetre de la portalada fa 20 m, determineu les mides x i y de la portalada que en maximitzen l’àrea. [1 punt]

6. La portalada d’una catedral està formada, en la part superior, per un arc de mitja circumferència que recolza sobre dues columnes, com iŀlustra la figura adjunta, en què x és el diàmetre de la cir- cumferència, és a dir, la distància entre columnes, i y és l’alçària de cada columna. a) Comproveu que la funció determina l’àrea d’aquesta portalada. [1 punt] b) Si el perímetre de la portalada fa 20 m, determineu les mides x i y de la portalada que en maximitzen l’àrea. [1 punt] Resolució: a) L’àrea de la portalada serà la suma de l’àrea de la semicircumferència més la del rectangle inferior, és a dir ⁄ que és l’expressió proposada. b) Que el perímetre sigui 20 m ens indica la restricció , és a dir . D’aquesta condició podem aïllar la y i substituir-la a la funció de l’àrea per a maximitzar-la. Tenim i per tant ( ) Per a maximitzar la funció, derivem i igualem la derivada a 0. Quan fem , obtenim . Com que la derivada segona és independent del valor de l’abscissa del punt, en el nostre v […]