PAU Matemàtiques 2015 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 1

1. Sigui la matriu . a) Determineu per a quins valors de a existeix A–1. [1 punt] b) Calculeu A–1 per a a = 0. [1 punt]

1. Sigui la matriu ܣ ൌ൭ ൱ . 1 0 െ2 1 1 െܽ a) Determineu per a quins valors de ܽ existeix ܣିଵ. [1 punt] b) Calculeu ܣିଵ per a ൌ0. [1 punt] Resolució: a) Per a que existeixi la inversa de la matriu ܣ cal que el determinant sigui diferent de zero. 0ܽ 1 ଶ. detሺAሻൌอ 1 0 െ2 อൌ1 െ2ܽ ൅ܽ 1 1 െܽ ଶെ2ܽ ൅1 ൌ0 i obtenim ൌ1. Per tant,el determinant és Resolem l’equació diferent de zero, i aleshores la matriu és invertible, sempre que ܽ sigui diferent de 1. b) ൌ0 la matriu ܣ és igual a: Quan 0 0 1 ܣ ൌ൭ ൱ . 1 0 െ2 1 1 0 detሺAሻൌ1. I per tant, 2 െ2 1 2 1 0 ܣିଵൌ1 1 ൭ ൱ ൌ൭ ൱. 1 െ1 0 െ2 െ1 1 0 1 0 1 0 0 Apartat a) 0,25 punts pel plantejament inicial de no anul·lar el determinant. 0,25 punts pel càlcul del determinant. 0,25 punts pel plantejament de l’equació de segon grau. 0,25 punts per la solució final. Apartat b) 0,25 punts per la substitució i el determinant 0,25 punts per la fórmula de la inversa. 0,25 punts pels adjunts. 0,25 punts pel càlcul final.