PAU Matemàtiques 2015 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Sigui la funció f(x) = ex – x – 2. a) Demostreu que la funció f té una arrel (un zero) en l’interval [0, 2]. [1 punt] b) Comproveu que la funció és monòtona en l’interval [0, 2] i calculeu les coordenades dels punts mínim absolut i màxim absolut de la funció en aquest interval. [1 punt]

௫െݔെ2. 3. Sigui la funció ݂ሺݔሻൌ݁ a) Demostreu que la funció f té una arrel (un zero) en l’interval [0, 2]. [1 punt] b) Comproveu que la funció és monòtona en l’interval [0, 2], i calculeu les coordenades dels punts mínim absolut i màxim absolut de la funció en aquest interval. [1 punt] Resolució: a) Observem que la funció f és contínua en tot el seu domini ja que és combinació lineal de funcions contínues com l’exponencial i els polinomis. És suficient observar ଴െ0 ൅2 ൌ1 െ2 ൌെ1 ൏0݂ que ݂ሺ0ሻൌ݁ ൠ i per tant per continuïtat en l’interval [0, ሺ2ሻൌ݁ ଶെ2 െ2 ൌ݁ ଶെ4 ൐0 2] i aplicant el Teorema de Bolzano hi haurà algun punt a (0, 2) en el qual la funció s’anul.la com l’enunciat ens demana que demostrem. ᇱሺݔሻൌ݁ ௫െ1. Observem que f’ s’anul·la b) La derivada de la funció f és ௫൐1 únicament per a x = 0 i que és estrictament positiva a l’interval (0, 2], ja que quan ݔ൐0. Per tant la funció f és creixent en l’interval [0, 2] i aleshores prendrà el mínim absolut en l’extrem inferior, x = 0, i el màxi […]