PAU Matemàtiques 2015 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 4

4. Siguin els plans de ℝ3 π1: –y + z = 2, π2: –2x + y + z = 1 i π3: 2x – 2z = –1. a) Calculeu la posició relativa dels tres plans. [1 punt] b) Comproveu que el pla π3 és paraŀlel a la recta definida per la intersecció dels plans π1 i π2. [1 punt]

4. Siguin els plans de i ߨଷ: 2ݔെ2ݖൌെ1. a) Calculeu la posició relativa dels tres plans. [1 punt] b) Comproveu que el pla ߨଷ és paral·lel a la recta definida per la intersecció dels plans ߨଵ i ߨଶ. [1 punt] Resolució: a) Plantegem el sistema d’equacions lineals format pels tres plans i estudiem l’existència de solucions. La matriu del sistema queda ۇ 0 െ1 1 2 ۊ ተተ െ2 1 1 1 ۈ ۋ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ 2 0 െ2 െ1 ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ۉ ஺ ی ஺ᇲ Calculem el determinant de la matriu de coeficients. detሺܣሻൌെ2 െ2 ൅4 ൌ0, per ሺܣሻ൏3 però com que el menor ቚ0 െ1 tant tenim que ݎܽ݊݃ 1 ቚൌെ2് 0 és no nul െ2 tenim que ݎܽ݊݃ ሺܣሻൌ2. Per a saber el rang de la matriu ampliada orlem el menor amb la tercera fila i la columna 0 െ1 2 dels termes independents i com que อ อൌെ2 െ4 ൅2 ൌെ4് 0 ⇒ െ2 1 1 2 0 െ1 ሺܣᇱሻൌ3് ݎܽ݊݃ ݎܽ݊݃ ሺܣሻ i per tant el sistema és incompatible, és a dir, el tres plans no tenen cap punt en comú. Observem també que els plans no són paral·les dos a dos, ja que els vectors normals no són proporcionals. Per tant, els t […]