PAU Matemàtiques 2015 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Trobeu totes les matrius de la forma que siguin inverses d’elles mateixes, és a dir, que [2 punts]

6. Trobeu totes les matrius de la forma ܣൌቀܽ 1ቁ que siguin inverses d’elles mateixes, és a dir, que ܣଶൌቀ1 0 1ቁ. [2 punts] Resolució: Per tal que la matriu sigui inversa d’ella mateixa s’haurà de complir que A·A = I, és a dir la següent igualtat 0ܾ 0ܾ 1ቁൌቀ1 0 ቀܽ 1ቁ൉ቀܽ 1ቁ ଶ 1൰ൌቀ1 0 0 ൬ܽ 1ቁ ൅ܾ 0 Per tant s’ha de resoldre el sistema ଶ ൌ 1ܾܽ 0ൠ ൅ܾ ൌ ൌേ1 del que se’n deriven dos casos possibles. La primera equació ens porta a  a = 1 La segona equació queda b+b = 0, és a dir 2b=0, per tant b = 0 i aleshores la matriu resultant és la identitat, ቀ1 0 1ቁ.  a = -1 La segona equació queda –b+b=0, que es compleix independent del valor de b. Així doncs, la matriu resultat és de la forma ቀെ1 0ܾ 1ቁ, per a qualsevol valor de b. En resum les matrius sólució són: ቀ1 0 1ቁ i ቀെ1 0ܾ 1ቁ per a qualsevol valor del paràmetre b. 0,5 punts pel producte matricial. 0,25 punts per l’obtenció del sistema d’equacions. 0,25 punts per a les solucions de a 0,5 punts cas a = 1. 0,5 punts cas a = -1.