PAU Matemàtiques 2016 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Sabem que una funció f(x) té per derivada f′(x) = (x + 1)ex i que f(0) = 2. a) Trobeu l’equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt de la corba d’abscissa x = 0. [1 punt] b) Calculeu l’expressió de f(x). [1 punt]

   6. Sabem que una funció té per derivada xe i que . f (x ) f (' x ) ( x )1 f ( 0 ) 2 y  c) Trobeu l’equació de la recta tangent a en el punt de la corba amb f (x )  x 0 abscissa . [1 punt] d) Calculeu l’expressió de . f (x ) [1 punt] Resolució: a) Només cal aplicar la fórmula de l’equació de la recta tangent en un punt    ( a , f ( a )) : y f ( a ) f (' a )( x a ) En aquest cas, ; ( ) i ( ) i, per tant, l’equació demanada és:    x  y 2 (1 x 0 ) , o sigui y 2 b) Calculem la primitiva pel mètode d’integració per parts:      x     x  x  f ( x ) ( x )1 e dx uv vdu ( x )1 e e dx ( ) i, per tant, ( ) . Com que ( ) , resulta que   0   2 f ( 0 ) 0 e k k Apartat a) 0,5 punts per la formulació de la recta tangent. 0,5 punts per la substitució i càlcul final. Apartat b) 0,25 punts per la identificació dels termes d’integració per parts. 0,25 punts pel primer pas d’integració per parts. 0,25 punts pel pas final d’integració. 0,25 punts per calcular k i l’expressió fin […]