PAU Matemàtiques 2015 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 4

4. Considereu a ℝ3 la recta que té per equació r: (x, y, z) = (–4 + 2λ, –2, 1 – λ) i els plans π1 i π2 d’equacions π1: x + 2y + 2z = –1 i π2: x – 2y + 2z = –3, respectivament. a) Determineu la posició relativa de π1 i π2 . [1 punt] b) Comproveu que tots els punts de la recta r estan situats a la mateixa distància dels plans π1 i π2. [1 punt] Nota:  Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió

4. Considereu a R3 la recta que té per equació i els plans i d’equacions i , respectivament. a) Determineu la posició relativa de i . [1 punt] b) Comproveu que tots els punts de la recta r estan situats a la mateixa distància dels plans i . [1 punt] NOTA: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades al pla | | d’equació amb l’expressió . √ Resolució: Els vectors normals dels respectius plans són i que a) no són proporcionals i per tant els plans no són paral·lels. Per tant la posició relativa és que els plans i es tallen definint una recta intersecció. b) Un punt genèric R de r és de la forma . Es tracta de demostrar que , amb independència del paràmetre . Quan plantegem ambudes distàncies ens hem de preguntar si es compleix | | | | √ √ I, efectivament, quan fem els càlculs obtenim la igualtat | | | | que és certa independentment del valor del paràmetre . És a dir, tota la recta r equidista dels dos plans i . Observació: Com que l’enunciat només demana comprovar l’equidistància […]