PAU Matemàtiques 2015 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 5

5. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu la matriu de la forma que satisfà A2 – A = I, en què I és la matriu identitat, . [1 punt] b) Calculeu A–1 i comproveu que el resultat es correspon amb el que obteniu de deduir la matriu A–1 a partir de la igualtat A2 – A = I. [1 punt]

5. Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu la matriu de la forma ( ) que satisfà , en que I és la matriu identitat, ( ). [1 punt] b) Calculeu i comproveu que el resultat es correspon amb el que obteniu de deduir la matriu a partir de la igualtat . [1 punt] Resolució: Desenvolupem la igualtat utilitzant ( ). a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si igualem terme a terme, obtenim directament que i per tant la matriu buscada és ( ) b) Calculem la inversa ( ( ( ) ) ) Per altra banda si tenim la igualtat podem treure factor comú la matriu A, sigui per la dreta o per l’esquerra, per la propietat distributiva del producte de matrius, i obtenim Aquesta igualtat ens demostra que A és invertible i que la seva matriu inversa és la matriu ja que el producte d’ambdues matrius (en els dos ordres) és la matriu identitat, I. Per tant, Quan utilitzem aquesta fórmula obtenim ( ) ( ) ( ) tal com volíem comprovar. Apartat a) 0,25 punts pel producte matricial. 0,25 punts per la diferència matricial […]