PAU Matemàtiques 2013 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Volem construir una tenda en forma de piràmide regular de base quadrada. Disposem de 300 m2 de tela per a la fabricació de les quatre cares de la tenda (se suposa que en l’elaboració de les cares no es perd gens de tela). Designem x la longitud d’un costat de la base de la tenda. a) Sabent que el volum d’una piràmide és igual a un terç del producte de l’àrea de la base per l’altura, comproveu que, en aquest cas, b) Determineu el valor de x perquè el volum sigui el més gran possible (no cal que com- proveu que el valor obtingut correspon realment a un màxim). [1 punt per cada apartat]

6.-Volem construir una tenda en forma de piràmide regular de base quadrada. Disposem de 300 m2 de tela per a la fabricació de les quatre cares de la tenda (se suposa que en l’elaboració de les cares no es perd gens de tela). Designem x la longitud d’un costat de la base de la tenda. a h x (a) Sabent que el volum d’una piràmide és igual a un terç del producte de l’àrea de la base per l’altura, comproveu que, en aquest cas, √ 9 · 104 −x4 V (x) = x . (b) Determineu el valor de x perquè el volum sigui el més gran possible (no cal que comproveu que el valor obtingut correspon realment a un màxim). [1 punt per cada apartat] Solució (a) Anomenem a a l’altura d’una de les cares de la tenda, tal com està indicat al dibuix. Llavors, la (ax ) superfície total de les quatre cares de la tenda és S(x) = 4 = 2ax. Com que aquesta superfície és de 300 m2, tenim que 2ax = 300, és a dir, a = 150 Per altra banda, d’acord amb el teorema de Pitàgores, a2 = h2 + (x/2)2 . Per tant, √ √(150 √ )2 9 · 104 −x4 a2 […]