PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 6

6. Responeu a les qüestions següents: a) La funció f(x) = (b – x)eax, amb a i b constants, té la representació gràfica següent i sabem que passa pels punts A = (0, 2) i B = (2, 0), i que en el punt A la recta tangent a la gràfica és horitzontal. Calculeu els valors de a i b. [1 punt] b) Calculeu [1 punt]

6. Responeu a les qüestions següents: a) La funció ݂ሺݔሻൌሺܾെݔሻ݁௔௫, amb a i b constants, té la representació gràfica següent i sabem que passa pels punts ܣൌሺ0,2ሻ i ܤൌሺ2,0ሻ, i que en el punt A la recta tangent a la gràfica és horitzontal. Calculeu els valors de a i b. [1 punt] ଶ b) Calculeu ׬ ݔ൉ln ݔ ݀ݔ . ଵ [1 punt] Resolució: Tenim ݂ሺݔሻൌሺܾെݔሻ݁௔௫. a) Que la gràfica passi pel punts ܣൌሺ0,2ሻ vol dir ݂ሺ0ሻൌ2. És a dir ݂ሺ0ሻൌܾ ൌ2. Per tant la funció té l’expressió ݂ሺݔሻൌሺ2 െݔሻ݁௔௫. Anàlogament, si la gràfica passa per ܤൌሺ2,0ሻ, aleshores ݂ሺ2ሻൌ0, independentment del valor del paràmetre a. Per altra banda, si en el punt A, la recta tangent a la gràfica és horitzonal, aleshores ᇱሺ0ሻൌ0. ᇱሺݔሻ. Calculem ᇱሺݔሻൌെ1 ൉݁ ௔௫൅ሺ2 െݔሻ൉ܽ݁ ௔௫ ൌ1 2 ᇱሺ0ሻൌെ1 ൅2ܽ I substituïm en ݔൌ0,݂ ൌ0. I per tant ൗ. ௫ଶ ሺݔሻൌሺ2 െݔሻ݁ ൗ. Així doncs la funció és ଶ Per a calcular ׬ ݔ൉ln ݔ ݀ݔ b) , calcularem primer una primitiva de l’integrand, ଵ que serà una integral per parts, i després aplicarem la regla de Barrow. ݑൌ1 ݑൌln ݔ݀ ݔ݀ݔ݀ ൌݔଶ 2 l […]