PAU Matemàtiques 2013 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Donats el pla π: x + 2y – z = 3 i la recta , a) Comproveu que el vector característic (o normal) de π i el vector director de r són perpendiculars. b) Estudieu la posició relativa de π i r en funció del paràmetre m. [1 punt per cada apartat]

3.- Donats el pla π: x + 2y −z = 3 i la recta r: x −1 = y = z + m , 2 4 (a) Comproveu que el vector característic (o normal) de π i el vector director de r són perpendiculars. (b) Estudieu la posició relativa de π i r en funció del paràmetre m. [1 punt per cada apartat] Solució (a) El vector característic del pla és vπ = (1, 2, −1); el vector director de la recta és vr = (2, 1, 4). Aquests vectors seran perpendiculars si i sol si el seu producte escalar és nul. (1, 2, −1) · (2, 1, 4) = 1 · 2 + 2 · 1 + (−1) · 4 = 2 + 2 −4 = 0 , (b) Tenint en compte l’apartat anterior, la recta i el pla solament poden ser paral·lels o incidents (la recta està continguda dins del pla). En aquest segon cas, qualsevol punt de la recta ha de complir l’equació del pla. Agafem el punt P = (1, 0, −m); aquest punt pertany al pla si i sol si 1 + 2 · 0 −(−m) = 3; és a dir, si i sol si m = 2 . En definitiva, si m = 2 , la recta està continguda al pla; si m̸ = 2 , la recta i el pla són paral·lels. Pautes de Correcció […]