PAU Matemàtiques 2013 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 1

1. Sigui V = {(–1, 1, 1), (–2, –1, 0), (1, 2, a)} un conjunt de vectors de ℝ3. a) Trobeu el valor o els valors de a perquè V sigui linealment dependent. b) Quan a = 4, expresseu el vector v→ = (3, 9, 14) com a combinació lineal dels vectors de V. [1 punt per cada apartat]

1.- Sigui V = {(−1, 1, 1), (−2, −1, 0), (1, 2, a)} un conjunt de vectors de R3. (a) Trobeu el valor o valors de a perquè V sigui linealment dependent. (b) Quan a = 4, expresseu el vector⃗v = (3, 9, 14) com a combinació lineal dels vectors de V . [1 punt per cada apartat] Solució (a) Hi ha diferents formes de comprovar la dependència lineal de V . Per exemple, podem calcular el determinant de la matriu formada pels tres vectors,   −1 −2 1  =⇒det A = 3a −3 . −1 A = 1 2 1 0 a Aquest determinant val zero si i sol el conjunt V és linealment dependent. Com que l’equació 3a−3 = 0 té per solució a = 1 , aquest és el valor demanat. Podem buscar també el rang de la matriu A, que haurà de ser menor que 3 si volem que el conjunt V sigui linealment dependent         −1 −2 −1 −2 −1 −2 −1 −2 1 1 1 1 (1) (2) (3)        . 1 −1 2 −→ 0 −3 3 −→ 0 −1 1 −→ 0 −1 1 1 0 a 0 −2 a + 1 0 −2 a + 1 0 0 a −1 Les transformacions elementals realitzades han estat: (1) F2 + F1 i F3 + F1; (2) F2/3 (3) […]