PAU Matemàtiques 2013 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Donats el pla π: 2x – y + 3z – 8 = 0 i el punt P = (6, –3, 7), a) Trobeu l’equació contínua de la recta que passa per P i és perpendicular a π. b) Trobeu el punt del pla π que està més proper al punt P. [1 punt per cada apartat]

5.- Donats el pla π : 2x −y + 3z −8 = 0 i el punt P = (6, −3, 7), (a) Trobeu l’equació contínua de la recta que passa per P i és perpendicular a π. (b) Trobeu el punt del pla π que està més proper al punt P. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Podem agafar com a vector director de la recta que busquem el vector característic del pla π; llavors, l’equació contínua de la recta és x −6 = y + 3 = z −7 . 2 −1 3 (b) El punt del pla més proper al punt P és el que es troba a la recta perpendicular al pla passant per P. Així, el punt que estem buscant és la solució de les equacions x −6 = y + 3 = z −7 , juntament amb 2x −y + 3z −8 = 0 . 2 −1 3 Hi ha vàries formes de resoldre el sistema. Una d’elles és convertint l’equació contínua de la recta en dues equacions, x −6 = z −7 = y + 3 y + 3 =⇒x + 2y = 0 ; =⇒3y + z = −2 . 2 −1 −1 3 Ajuntant aquestes dues equacions amb la del pla ens queda un sistema,  x + 2y = 0  3y + z = −2 , 2x −y + 3z = 8 que té per solució x = 2, y = −1, z = 1 . Una altra f […]