PAU Matemàtiques 2012 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Una fàbrica produeix diàriament x tones d’un producte A i (40 – 5x)/(10 – x) tones d’un producte B. La quantitat màxima de producte A que es pot produir és 8 tones. El preu de venda del producte A és 100€per tona i el del producte B és 250€per tona. a) Construïu la funció de la variable x que ens proporciona els ingressos diaris, suposant que es ven tota la producció. b) Calculeu quantes tones de cada producte s’han de produir diàriament per a obtenir el màxim d’ingressos, i comproveu que és realment un màxim relatiu. [0,5 punts per lʼapartat a; 1,5 punts per lʼapartat b]

4.- Una fàbrica produeix diàriament x tones d’un producte A i (40−5x)/(10−x) tones d’un producte B. La quantitat màxima de producte A que es pot produir és 8 tones. El preu de venda del producte A és 100 C per tona i el del producte B és 250 C per tona. (a) Construïu la funció de la variable x que ens proporciona els ingressos diaris, suposant que es ven tota la producció. (b) Calculeu quantes tones de cada producte s’han de produir diàriament per a obtenir el màxim d’ingressos, i comproveu que és realment un màxim relatiu. [0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b] Solució (a) D’acord amb l’enunciat, la funció que ens dóna els guanys diaris és f(x) = 100x + 250 40 −5x 10 −x . (b) Per tal de localitzar el màxim benefici cal derivar la funció anterior i igualar la derivada a zero. 10 −x =⇒f′(x) = 100x2 −2000x + 7500 f(x) = 100x + 250 40 −5x . (10 −x)2 Llavors, f′(x) = 0 =⇒100x2 −2000x + 7500 = 0 =⇒x2 −20x + 75 = 0 =⇒x = 5 , x = 15 . x + b = ab2 ax2 Si b̸ = 0, lím = ∞(el signe […]