PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. a) Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x=2. b) Quan a=2, classifiqueu-ne els extrems relatius. [1 punt per cada apartat] Proves d’Accés a la Universitat. Curs 2010-2011 Matemàtiques

6.- Sigui f(x) = x2e−ax , quan a̸ = 0 . (a) Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2 . (b) Quan a = 2, classifiqueu-ne els extrems relatius. [1 punt per cada apartat] Solució (a) La condició necessària perquè una funció tingui un extrem relatiu en un punt és que la primera derivada en ell valgui zero. Busquem la primera derivada de la funció f(x). Df(x) = 2xe−ax + x2(−ae−ax) = e−ax(2x −ax2) . Llavors, Df(x) = 0 si i sol si x = 0 o x = 2/a ja que la funció exponencial és sempre diferent de zero. Si volem que la funció tingui un extrem relatiu en x = 2, cal que a = 1 . Nota: De fet és necessari encara comprovar que D2f(2)̸ = 0. Com que D2f(x) = e−ax(2−4ax+a2x2), és clar que per a = 1 el valor de D2f(2) no és zero. (b) Podem aprofitar la feina feta a l’apartat anterior: quan a = 2, tenim que la funció pot tenir extrems en x = 0 i en x = 2/2 = 1 . D’altra banda, quan a = 2, D2f(x) = e−2x(2 −8x + 4x2) . Com que D2f(0) = 2 > 0, en el pun […]