PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Siguin i . a) Comproveu que r1 i r2 són perpendiculars. b) Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall. [1 punt per cada apartat] Sigui f(x)=x2·e–ax quan a≠0.

5.- Siguin r1: x −2 = y −3 = 1 −z i r2: x + 3 = y + 1 = z + 1 . 2 2 2 2 (a) Comproveu que r1 i r2 són perpendiculars. (b) Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Posem l’equació de la recta r1 en forma contínua (la recta r2 ja està donada en aquesta forma): r1: x −2 = y −3 = z −1 −2 . 1 2 Els vectors directors respectius són v1 = (1, 2, −2) i v2 = (2, 1, 2). Com que el seu producte escalar és (1, 2, −2) · (2, 1, 2) = 2 + 2 −4 = 0 , podem assegurar que els vectors són ortogonals i, per tant, les rectes r1 i r2 són perpendiculars. (b) Les equacions de les rectes donen lloc a un sistema de quatre equacions lineals amb tres incògnites, 2x −y = 1    y + z = 4  . x −2y = −1    x −z = −2 De la primera equació, y = 2x −1; substituint aquest valor a les altres tres equacions obtenim 2x + z = 5   −3x = −3 x −z = −2  La segona equació d’aquest sistema reduït ens porta a què x = 1. Llavors, les altres dues equacions són e […]