PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Definim les funcions f(x)=a(1 – x2) i , en què a>0. a) Comproveu que l’àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és: b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima. [1 punt per cada apartat]

3.- Definim les funcions f(x) = a(1 −x2) i g(x) = x2 −1 , en què a > 0. a (a) Comproveu que l’àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és 4(1 + a2) . 3a (b) Busqueu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Cal buscar els punts d’intersecció de les dues gràfiques. El valor de l’abscissa en un punt d’intersecció és la solució de l’equació f(x) = g(x); és a dir, a(1 −x2) = x2 −1 . a D’aquí ens queda (a2 +1)(1−x2) = 0 . Com que a2 +1 no és zero per cap valor del paràmetre a, tenim x = ±1 . Llavors, tenint en compte que en l’interval [−1, 1] es compleix que f(x) > g(x) ja que f(0) = a > g(0) = −1 per ser a > 0, a, és clar que l’àrea buscada és Z 1 Z 1 a(1 −x2) −x2 −1 Z 1 (a2 + 1)(1 −x2) ! A = (f(x) −g(x)) , dx = dx = dx a a −1 −1 −1 #1 = (a2 + 1) " x −x3 = 4(1 + a2) . a 3 3a −1 (b) Definim la funció h(a) = 4(1 + a2) . Perquè el seu valor sigui mínim cal que la primera derivada 3a sigui nul·la. Com que Dh(a) = 4(a2 −1) , 3 […]