PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Un segment de longitud fixada m recolza sobre els eixos de coordenades. Calculeu el valor de l’angle α que forma el segment amb l’eix OX perquè el triangle rectan- gle determinat pel segment amb els eixos i del qual m és la hipotenusa tingui àrea màxima. Comproveu que es tracta realment d’un màxim. [2 punts]

3.- Un segment de longitud fixada m recolza sobre els eixos de coordenades. Calculeu el valor de l’angle α que forma el segment amb l’eix OX perquè el triangle rectangle determinat pel segment amb els eixos i del qual m és la hipotenusa tingui àrea màxima. Comproveu que es tracta realment d’un màxim. OY Q m α OX P [2 punts] Solució 1 Siguin P = (x, 0) i Q = (0, y) els punts on el segment toca als eixos de coordenades. Llavors, és evident √ que x2 + y2 = m2 i que A = x · y m2 −x2. Substituint aquest valor a la 2 . De la primera igualtat, y = √ m2 −x2 fórmula que ens dóna l’àrea, ens queda A = x · . Ara cal trobar el valor de la derivada, o bé de la funció A(x) o bé de la funció B(x) = [A(x)]2, la qual permet simplificar el càlcul de la derivada, sense canviar el resultat. √ m2 −2x2 B′(x) = 2x(m2 −x2) −2x3 = x(m2 −2x2) m2 −x2 x2 A′(x) = √ √ − m2 −x2 = m2 −x2 ; . 2 4 2 2 2 A′(x) = 0 té com a solució x = ± m 2 i B′(x) = 0 admet a més a a més, la solució x = 0. Tant la √ solució nul·la com la […]