PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

5. La gràfica de la funció f(x) = x · sin(x) és la següent: a) Trobeu-ne una primitiva. b) Aplicant el resultat de l’apartat anterior, calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x) i l’eix d’abscisses des de x = 0 fins a x = π. [1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]

5.- La gràfica de la funció f(x) = x · sin(x) és la següent: π (a) Trobeu-ne una primitiva. (b) Aplicant el resultat de l’apartat anterior, calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x) i l’eix d’abscisses des de x = 0 fins a x = π. [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b] Solució Z (a) Per calcular x · sin(x)dx utilitzarem el mètode de integració per parts. Agafarem u = x i dv = sin(x)dx; llavors, du = dx i v = −cos(x). Z Z Z x · sin(x)dx = x[−cos(x)] − [−cos(x)]dx = −x · cos(x) + cos(x)dx = −x · cos(x) + sin(x) . No cal sumar cap constant perquè es demana solament una primitiva. (b) Aplicant la regla de Barrow, Z π iπ h x · sin(x)dx = −x · cos(x) + sin(x) 0 = [−π · cos(π) + sin(π)] −[−0 · cos(0) + sin(0)] = π −0 = π. x 3