PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Sigui . Trobeu els valors de les variables x i y perquè es compleixi que A2 = A. [2 punts]

6.- Sigui A = . Trobeu els valors de les variables x i y perquè es compleixi que −2 y A2 = A. Solució Busquem el valor de la matriu A2, x x x2 −6 3 3 3x + 3y A2 = A · A = = . −6 + y2 −2 y −2 y −2x −2y La igualtat A2 = A ens porta al sistema d’equacions x2 −6 = x ; y2 −6 = y . 3x + 3y = 3 ; −2x −2y = −2 ; De fet, la segona i la tercera equacions són la mateixa, x + y = 1. De la primera equació, x2 −6 = x ⇐⇒x2 −x −6 = 0 ⇐⇒x = 3 o x = −2 . La quarta equació és similar a la primera amb diferent variable. Les solucions són y = 3, y = −2. En principi, sembla que hi ha quatre solucions diferents, x = 3 amb y = 3; x = 3 amb y = −2; x = −2 amb y = 3; x = −2 amb y = −2. Ara bé, d’aquestes quatre solucions solament dues compleixen l’equació x + y = 1: x = 3 amb y = −2 ; x = −2 amb y = 3 .