PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Donades les rectes i : a) Comproveu que són paral·leles. b) Trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que les conté. [1 punt per cada apartat]

4.- Donades les rectes r1 : x + 5 = y −1 = z −2 i r2 : 2x −y + z + 11 = 0 : 3 2 −4 (a) Comproveu que són paral·leles. (b) Trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que les conté. [1 punt per cada apartat] Solució (a) El vector director de la primera recta és v1 = (3, 2, −4) i el de la segona, i j k v2 = 2 1 2 = (3, 2, −4) . 2 −1 1 Com que els vectors directors són, evidentment, proporcionals, les rectes són paral·leles o coincidents. Per descartar aquesta segona possibilitat, cal comprovar simplement que un punt d’una d’elles no pertany a l’altra. En efecte, el punt (−5, 1, 2), que és un punt de r1, no compleix la segona equació que defineix la recta r2 (la primera sí que la compleix!) i, per tant, no pertany a r2. (b) Podem trobar un únic pla que conté dues rectes si aquestes es tallen o si són paral·leles no coin- cidents. Estem en el segon cas, i el pla que les conté tindrà per vectors generadors un director de les rectes i un vector que comenci en […]