PAU Matemàtiques 2009 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 3

3. a) Expliqueu, raonadament, si alguna de les dues rectes pot ser tangent a la corba y = f(x) en algun punt. b) En cas que alguna d’elles ho sigui, trobeu el punt de tangència. [1 punt per cada apartat] Donats els vectors v→ 1 = (a + 1, 2a, 1), v→ 2 = (–2, a, 2a) i v→ 3 = (a, –2, 4a – 2) de 3:

3.- Sigui 푓(푥) = 2푥3 −푥2 + 3푥+ 1. Donades les rectes 푟1 : 푦= 푥+ 2 i 푟2 : 푦= 7푥−2: 푎) Expliqueu, raonadament, si alguna de les dues rectes donades pot ser tangent a la corba 푓(푥) en algun punt. 푏) En cas què alguna d’elles ho sigui, trobeu el punt de tangència. [1 punt per cada apartat] 푎) Una recta i una corba són tangents en un punt si les dues passen pel punt i tenen el mateix pendent en ell. El pendent de la corba en un punt és el valor de la derivada de la funció en el punt. Calculem aquesta derivada: 푓′(푥) = 6푥2 −2푥+ 3. La recta 푟1 pot ser tangent a la corba si i sol si existeix algun valor de 푥per al qual 푓′(푥) = 1 (que és el valor del pendent de 푟1). Com que l’equació 6푥2 −2푥+ 3 = 1 no té solucions (reals), la recta 푟1 no pot ser tangent a la gràfica de 푓(푥). Paral⋅lelament, la recta 푟2 pot ser tangent a la corba si i sol si l’equació 6푥2 −2푥+ 3 = 7 té alguna solució. Com és fàcil veure, aquesta equació admet com a solucions 푥= 1 i 푥= −2/3. Per tant, la recta 푟2 pot ser tangent a […]