PAU Matemàtiques 2009 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 1

QÜESTIONS 1. Considereu la matriu . Calculeu el valor dels paràmetres a i b perquè . [2 punts] Considereu en l’espai 3 les rectes r i s, les equacions respectives de les quals són:

QÜESTIONS ( 푎 0 ) 1.- Considereu la matriu 퐴= . Calculeu el valor dels paràmetres 푎i 푏perquè 1 −푏 ( 1 0 ) 퐴2 = . −2 1 [2 punts] Solució Calculem el valor de la matriu 퐴2, ( 푎 ) ( 푎 ( 푎2 0 0 0 ) ) 퐴2 = = . 푏2 1 −푏 1 −푏 푎−푏 ( 1 0 ) ens queden les equacions 푎2 = 1, 푎−푏= −2 i Quan igualem aquest resultat a la matriu −2 1 푏2 = 1. La segona equació permet assegurar que 푎= 푏−2. Llavors, la primera equació és (푏−2)2 = 1 que té per solucions 푏= 3 i 푏= 1; la tercera equació té per solucions 푏= 1 i 푏= −1. El valor que les compleix simultàniament és 푏= 1; d’aquí, 푎= 1 −2 = −1. També es pot treballar de la forma explicitada a continuació. De la primera equació, resulta 푎= ±1; igualment, de la tercera en deduïm que 푏= ±1. Ara cal comprovar aquests valors en la segona equació. Quan 푎= 1 i 푏= 1, tenim que 푎−푏= 0. Per 푎= 1 i 푏= −1, surt que 푎−푏= 2. Si 푎= −1 i 푏= 1, ens queda que 푎−푏= −2. Finalment, quan 푎= −1 i 푏= −1, tenim que 푎−푏= 0. Així l’única solució és 푎= −1 i 푏= 1.