PAU Matemàtiques 2009 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 4

3 = (a, –2, 4a – 2) de 3: 4. a) Calculeu l’angle que formen v→ 1 i v→ 2 quan a = 0. b) Trobeu el valor del paràmetre a perquè els vectors v→ 1, v→ 2 i v→ 3 siguin perpendicu- lars dos a dos. [1 punt per cada apartat]

4.- Donats els vectors 푣1 = (푎+ 1, 2푎, 1), 푣2 = (−2, 푎, 2푎), 푣3 = (푎, −2, 4푎−2) de ℝ3: 푎) Calculeu l’angle que formen 푣1 i 푣2 quan 푎= 0. 푏) Trobeu el valor del paràmetre 푎perquè els vectors 푣1, 푣2 i 푣3 siguin perpendiculars dos a dos. [1 punt per cada apartat] Solució 푎) Sigui 훼l’angle format pels vectors 푣1 i 푣2. Llavors, √ 푣1 ⋅푣2 (1, 0, 1) ⋅(−2, 0, 0) (−2)2 + 02 + 02 = −2 2 cos 훼= ∥푣1∥∥푣2∥= √ √ 2 = − 2 . 12 + 02 + 12 √ D’aquí, 훼= 135표= 3휋/4 rad. 푏) Cal que es compleixi que 푣1 ⋅푣2 = 0, 푣1 ⋅푣3 = 0 i 푣2 ⋅푣3 = 0. 푣1 ⋅푣2 = (푎+ 1, 2푎, 1) ⋅(−2, 푎, 2푎) = 2(푎2 −1) = 0 =⇒푎= ±1 푣1 ⋅푣3 = (푎+ 1, 2푎, 1) ⋅(푎, −2, 4푎−2) = 푎2 + 푎−2 = 0 =⇒푎= 1, 푎= −2 푣2 ⋅푣3 = (−2, 푎, 2푎) ⋅(푎, −2, 4푎−2) = 8(푎2 −푎) = 0 =⇒푎= 1, 푎= 0 Solament per 푎= 1 es compleixen les tres igualtats alhora.