PAU Matemàtiques 2009 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 2

2. , en què m és un paràmetre real. Estudieu si hi ha cap valor d’aquest paràmetre per al qual les rectes siguin perpendiculars i es tallin. [2 punts] Sigui f(x) = 2x3 – x2 + 3x + 1. Donades les rectes r1: y = x + 2 i r2: y = 7x – 2:

2.- Considereu en l’espai ℝ3 les rectes 푟i 푠, les equacions respectives de les quals són: { 푥+ 2푦+ 푚푧= 0 푟: (푥, 푦, 푧) = (4, 1, 0) + 휆(푚, 1, 1), 푠: , 푥+ 푦+ 푧= 1 en què 푚és un paràmetre real. Estudieu si hi ha cap valor d’aquest paràmetre per al qual les rectes siguin perpendiculars i es tallin. [2 punts] Solució Dues rectes són perpendiculars si ho són els seus vectors directors. Busquem, per tant, els vectors directors de les rectes. És clar que com a vector director de la recta 푟podem agafar 푣푟= (푚, 1, 1). El vector director de la recta 푠es pot trobar de diferents maneres; entre elles: (a) Efectuant el producte vectorial dels vectors característics dels plans que la determinen, 푖 푗 푘 푣푠= 1 2 푚 = (2 −푚, 푚−1, −1). 1 1 1 (b) Buscant un vector (푎, 푏, 푐) tal que sigui perpendicular als vectors característics dels plans que la determinen, { (푎, 푏, 푐) ⋅(1, 2, 푚) = 0 { 푎+ 2푏+ 푚푐= 0 (푎, 푏, 푐) ⋅(1, 1, 1) = 0 =⇒ =⇒푎= (푚−2)푐, 푏= (1 −푚)푐. 푎+ 푏+ 푐= 0 Fent 푐= 1 (qualsevol altre valor no nul també se […]